§ 1. Основні поняття і теореми Вступ. Відображення. Нехай  EMBED Equation.3 
 s  EMBED Equation.3 
 дві множини. Припустимо, що кожному елементові  EMBED Equation.3 
 множини  EMBED Equation.3 
 поставлено у відповідність деякий елемент  EMBED Equation.3 
 множини  EMBED Equation.3 
. В такому випадку кажемо, що задана відображення або функцію  EMBED Equation.3 
 із множини  EMBED Equation.3 
 у множину  EMBED Equation.3 
. Відображення  EMBED Equation.3 
 називається ін’єктивним, якщо воно різним аргументам співставляє різні значення: EMBED Equation.3 
 для  EMBED Equation.3 
. Відображення  EMBED Equation.3 
 сюр’єктивне, якщо кожен елемент  EMBED Equation.3 
з множини  EMBED Equation.3 
має прообраз–такий елемент  EMBED Equation.3 
, що  EMBED Equation.3 
. Бієктивним є відображення, яке ін’єктивне і сюр’єктивне одночасно. Для двох відображень  EMBED Equation.3 
 і  EMBED Equation.3 
 їх композиція  EMBED Equation.3 
 задається співвідношенням  EMBED Equation.3 
 для  EMBED Equation.3 
. Тотожне відображення  EMBED Equation.3 
 залишає елементи множини  EMBED Equation.3 
 на місці:  EMBED Equation.3 
. Відображення  EMBED Equation.3 
 вважається лівим оберненим до відображення  EMBED Equation.3 
за умови, що їх композиція  EMBED Equation.3 
; і правим оберненим за умови, що  EMBED Equation.3 
. Відображення  EMBED Equation.3 
 називається оберненим до  EMBED Equation.3 
, якщо воно є одночасно і лівим, і правим оберненим до  EMBED Equation.3 
. ТЕОРЕМА ПРО ОБЕРНЕНЕ ВІДОБРАЖЕННЯ. Відображення  EMBED Equation.3 
 ін’єктивне тоді і лише тоді, коли до нього існує ліве обернене. Відображення  EMBED Equation.3 
 сюр’єктивне тоді і лише тоді, коли до нього існує праве обернене. Якщо відображення  EMBED Equation.3 
 бієктивне, то його ліве обернене збігається із правим оберненим. У випадку, коли множини  EMBED Equation.3 
 та  EMBED Equation.3 
 скінченні і містять однакову кількість елементів, відображення  EMBED Equation.3 
 має ліве обернене тоді і тільки тоді, коли воно має праве обернене. Б.3. Групи. Групою називається множина  EMBED Equation.3 
, наділена бінарною операцією  EMBED Equation.3 
 з такими властивостями:  EMBED Equation.3 
 для будь-яких елементів  EMBED Equation.3 
(асоціативність); В  EMBED Equation.3 
 існує нейтральний елемент  EMBED Equation.3 
 такий, що  EMBED Equation.3 
 для всіх  EMBED Equation.3 
; Для кожного елемента  EMBED Equation.3 
 в  EMBED Equation.3 
 є обернений елемент  EMBED Equation.3 
 такий, що  EMBED Equation.3 
. Якщо підмножина  EMBED Equation.3 
 множини  EMBED Equation.3 
 утворює групу відносно тієї ж операції  EMBED Equation.3 
, то вона називається підгрупою групи  EMBED Equation.3 
. Так, множина раціональних чисел  EMBED Equation.3 
 утворює групу за додаванням( EMBED Equation.3 
), а множина цілих чисел  EMBED Equation.3 
 є її підгрупою. Множина додатніх раціональних чисел  EMBED Equation.3 
утворює групу за множенням( EMBED Equation.3 
). Якщо групову операцію називаємо групу за множенням, то саму групу називаємо мультиплікативною, а її нейтральний елемент-одиницею. Якщо ж операцію називаємо додаванням, то групу називаємо адитивною, нейтральний елемент нулем, а обернений елемент-протилежним елементом. Для елемента  EMBED Equation.3 
 групи  EMBED Equation.3 
 через  EMBED Equation.3 
 позначається його і-тий степінь–елемент  EMBED Equation.3 
, де операція виконана і-1 раз. (В адитивній формі те ж саме записується як  EMBED Equation.3 
). Нескладною вправою є доведення того, що для кожного елемента  EMBED Equation.3 
 скінченної групи для деякого показника  EMBED Equation.3 
 виконується рівність  EMBED Equation.3 
. Найменше з таких  EMBED Equation.3 
називається порядком елемента  EMBED ...